Bài Tập Tính Nguyên Hàm Bằng Phương Pháp Đổi Biến Số

Đổi biến số là một trong những phương pháp tính nguyên hàm được sử dụng thường xuyên, đây là phương pháp hiệu quả để đưa bài toán nguyên hàm dạng phức tạp thành những bài toán nguyên hàm cơ bản.

Bạn đang xem: Bài tập tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số


Vậy cách tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số cụ thể như thế nào? được vận dụng để tính nguyên hàm của hàm vô tỉ, hàm hữu tỉ, hay hàm lượng giác,... , chúng ta hãy cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây, đồng thời vận dụng phương pháp này để giải một số bài tập tìm nguyên hàm.

I. Công thức nguyên hàm

* Công thức nguyên hàm cơ bản (hàm vô tỉ, hữu tỉ, hàm mũ, hàm e, hàm lượng giác)

 1. 

*

 2. 

*

 3. 

*

 4.

*

 5. 

*

 6. 

*

 7. 

*

 8. 

*

 15. 

*

 16.

*

 17. 

*

 18.

*

 19. 

*

 20. 

*

 21. 

*

 22. 

*

 23. 

*

 24. 

*

* Công thức nguyên hàm nâng cao (hàm hữu tỉ, hàm căn, hàm mũ e, hàm lượng giác)

 25. 

*

 26. 

*

 27. 

*

 28.

*

 29. 

*

 30.

*

 31. 

*

 32 

*

 33. 

*

 34. 

*

 35. 

*

II. Phương pháp tính nguyên hàm bằng cách đổi biến số

- Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau:

a) Nếu 

*
*
 là hàm số có đạo hàm thì 
*

b) Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = φ(t) trong đó φ(t) cùng với đạo hàm của nó φ"(t) là những hàm số liên tục, ta sẽ được:

*

- Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến (phép biến đổi 1 thì x là hàm theo t, phép biến đổi 2 thì t là hàm theo x) cụ thể như sau:

* Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tìm nguyên hàm I = ∫f(x)dx

* Phương pháp:

- Ta thực hiện theo các bước:

+ Bước 1: Chọn x = φ(t), trong đó φ(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.

+ Bước 2: Lấy vi phân 2 vế, dx = φ"(t)dt.

Xem thêm: 196 Nguyễn Thị Minh Khai Phường 6 Quận 3 Tp, Phòng Quản Lý Xuất Nhập Cảnh Tphcm

+ Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt: f(x)dx = f<φ(t)>.φ"(t)dt = g(t)dt.

+ Bước 4: Khi đó I = ∫g(t)dt = G(t) + C

* Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:

+ Dấu hiệu 

*
 đặt
*
 với
*
 hoặc 
*
 với 
*
.

+ Dấu hiệu

*
 đặt 
*
 với 
*
 hoặc 
*
 với 
*

+ Dấu hiệu 

*
 đặt
*
 với 
*

 Ví dụ 2: Tính tích phân bất định 

* Lời giải:

 - Ta có, x2 + 2x + 3 = x2 + 2x + 1 + 2 = (x+1)2 + (√2)2 nên

 Đặt: x + 1 = √2tan(t). 

*
 
*

- Ta có: 

*

*

 

*

- Khi đó: 

*
*
 (*)

- Mà 

*

 

*
 
*
*
 tha vào (*) ta được kết quả.

Xem thêm: Chung Kết Thế Giới Liên Minh Huyền Thoại

 Ví dụ 3: Tính tích phân bất định sau:

*

* Lời giải: 

- ĐK: x2 - 1 >0 ⇔ x > 1 hoặc x 1

 - Đặt 

*
 
*

 - Nên có: 

*

*

*

*

 

*

 

*

+ TH2: x * Lời giải:

 - Đặt 

*
 đặt 
*

+ Dấu hiệu 

*
 đặt
*
 với 
*

+ Dấu hiệu 

*
 với x + a > 0 và x + b > 0 đặt 
*
; với x + a * Lời giải:

- Đặt 

*

- Khi đó,

*
 
*

⇒ 

*

 Ví dụ 2: Tính tích phân bất định sau: 

*

* Lời giải:

- Đặt

*
 
*

- Khi đó: 

*

 

*
*

 ⇒ 

*

 

*

 Ví dụ 3: Tính tích phân bất định: 

*

* Lời giải: 

- Đặt 

*
*

 

*
 
*

 

*

⇒ 

*

 

*

*

 Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm: 

*

* Lời giải:

- Đặt

*
 
*

- Khi đó:

*
*

⇒ 

*
*
*

 Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm của 

* Lời giải:

- Đặt 

*
*

- Khi đó: 

*
*

⇒ 

*
*
*

 Ví dụ 6: Tính tính phân bất định 

*

* Lời giải:

- Đặt 

*

*
*

 

*

- Khi đó: I

*
*

 Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm của 

*

* Lời giải:

- Ta xét 2 trường hợp:

+ TH1: 

*

- Đặt 

*
*
 
*

*

- Khi đó: 

*
*

+ TH2: 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

* Lời giải Bài 3 trang 103 sgk giải tích 12:

a) Đặt 

*

- Ta có: 

*
*

b) Đặt 

*

- Ta có: 

*

 

*
*

c) Đặt 

*

- Ta có: 

*

 

*

d) Đặt 

*

- Ta có: 

*
*
*

Hy vọng với bài viết về cách tìm nguyên hàm bằng phương pháp đặt biến số và bài tập vận dụng có lời giải ở trên hữu ích cho các em. Mọi thắc mắc và góp y các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để vantaiduongviet.vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

  • Câu đố cái gì càng chơi càng ra nước

  • Xem phim nhất bạn bị cấm chiếu

  • Các chất tham gia phản ứng tráng bạc

  • Cao h vừa ăn vừa ngồi lên côn thịt

  • x

    Welcome Back!

    Login to your account below

    Retrieve your password

    Please enter your username or email address to reset your password.